Bespreking van de schoolmethodes

Motieven en criteria voor ons onderzoek van de rekenmethodes.

Degenen van ons die werkzaam zijn in het middelbaar en hoger onderwijs merken dagelijks dat onze leerlingen en studenten grote problemen hebben met wiskunde. Wij weten dat een structureel gebrek aan rekenvaardigheid en breukenvaardigheid aan de basis staat van genoemde wiskundeproblemen. Wij weten ook dat het succes van een brugklasleerling in aanzienlijke mate afhangt van zijn rekenvaardigheid.

Om algebra te kunnen leren, moet een kind zeer goed met breuken kunnen rekenen. Het is noodzakelijk dat een beginnende brugklasser abstract geformuleerde sommetjes zoals
  2/3+3/7 =
  2/3-3/7 =
  2/3x3/7 =
  2/3:3/7 =
door elkaar en zonder verdere aanwijzingen kan uitrekenen volgens de algemeen geldende rekenregels. Hij moet daartoe heel goed het verschil in aanpak weten tussen optellen/aftrekken enerzijds en vermenigvuldigen/delen anderzijds. Als een kind dit verschil niet automatisch beheerst, krijgt het met algebra grote problemen. De basisschool heeft het kind in dat geval niet goed voorbereid. Zie ter verduidelijking ook: 'De noodzaak van rekenvaardigheid'.

Het is om bovenstaande redenen dat wij in eerste instantie in de schoolboekjes hebben gezocht naar gemengde rijtjes sommen zoals de vier vragen hierboven. In geen van de schoolboeken hebben wij dergelijke gemengde abstracte rijtjes kunnen vinden. Dat is een ernstige tekortkoming van álle huidige rekenmethodes. Beginnende brugklassers moeten dit soort sommetjes immers door elkaar kunnen maken, zonder verdere aanwijzingen.
Vervolgens zijn wij, door de totale afwezigheid van gemengde rijtjes breukenopgaven, in de schoolboekjes gaan zoeken naar rijtjes sommen waarin gevraagd wordt om twee willekeurige breuken (dus geen 'handig' gekozen breuken) met ongelijke noemers bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken. Essentieel daarbij is dat de vragen op abstracte wiskundige wijze worden gesteld zonder verdere aanwijzingen. Kinderen moeten zélf direct weten dat je bij het optellen en aftrekken van breuken eerst de noemers gelijk moet maken. Daar gaat het juist om. Als kinderen dát niet weten, komen ze met algebra meteen in de problemen.
Kinderen moeten veel en herhaald oefenen met dit soort breukensommetjes. Door die herhaling weten ze op het laatst automatisch dat ze bij een + of – eerst de noemers gelijk moeten maken. Pas als dát voor een kind een vanzelfsprekendheid is geworden, kan het beginnen aan het optellen met letters, aan algebra dus.
Vandaar onze zoektocht naar vragen zoals 2/3+3/7 = die op deze symbolische 'wiskundige' wijze worden gesteld zonder verdere aanwijzingen. De opdracht moet bovendien zijn om het antwoord volgens het algemeen geldende rekenrecept op papier uit te rekenen. Bij het rekenen met letters moet een kind immers ook het altijd geldende rekenrecept gebruiken. Het rekenen met letters is in het begin al zeer moeilijk te vatten en abstract. Als een brugklasser nog niet in staat is een opgave met cijfers op te lossen, is een vergelijkbare opgave met letters voor hem nog absoluut onmogelijk. Algebra is voor hem dan verworden tot onbegrijpelijk gegoochel (zie: 'De noodzaak van rekenvaardigheid').

U begrijpt nu waarom wij expliciet hebben gezocht naar sommetjes die voldoen aan bovenstaande vet gemarkeerde criteria. Dit type vragen moet een brugklasser immers veelvuldig en met regelmaat hebben geoefend. U begrijpt nu ook waarom wij de oefeningen over gelijkwaardigheid niet hebben vermeld. Dit zijn nuttige voorbereidende deeloefeningen. Aan het eind van de basisschool moet een kind echter zeer veel geoefend hebben met de complete optelsommetjes.

 

methode totaal aantal keer een klein rijtje sommetjes zoals:

twee vijfde plus drie zevende

gedurend drie jaar
totaal aantal uren oefenen gedurende drie jaar tabel
met
details
Pluspunt 13 2 uur klik hier
De wereld in getallen 9 2 uur klik hier
Alles telt 8 1 uur klik hier
Pluspunt

In groep 6 wordt niet geoefend.

In groep 7 wordt pas na de kerst voor het eerst geleerd hoe je twee breuken kunt optellen. In totaal wordt slechts drie keer een klein rijtje sommetjes gemaakt. Zelfs na de eerste kennismaking (15 sommetjes) wordt de stof ongeveer 40 dagen lang niet meer herhaald. Na die 40 dagen verschijnt plotsklaps weer één piepklein rijtje met 5 sommetjes, daarna weer 40 dagen niets. Vlak voor de zomer nog 4 kleine sommetjes.

Ook in groep 8 is de spreiding over de dagen en weken zodanig slecht dat je niet kunt verwachten dat de stof bezinkt en beklijft. Gedurende de gehele basisschoolperiode wordt in totaal slechts ongeveer 2 uur geoefend!
Daar komt nog bij dat er nooit een rijtje wordt gemaakt met optel- en vermenigvuldigingssommetjes door elkaar. Het goed beheersen van het verschil in aanpak tussen deze twee soorten bewerkingen is onontbeerlijk voor wiskunde.

De meeste kinderen weten aan het begin van de brugklas niet goed hoe je twee willekeurige breuken bij elkaar optelt. Dit gebrek aan inzicht en vaardigheid blijft voor de leerling jarenlang een onzichtbare en onduidelijke hinderpaal.

Met andere belangrijke rekenvaardigheden is het al niet beter gesteld. Klik hier voor een gedetailleerd overzicht en bespreking van alle opgaven in het lesboek van groep 8.

De wereld in getallen

In groep 6 wordt niet geoefend.

In groep 7 wordt in feite ook nog niet geoefend. Vlak voor de zomervakantie verschijnt één keer één rijtje met 15 sommetjes.

In groep 8 is de spreiding over de dagen en weken weer, net als bij Pluspunt, zodanig slecht dat je niet kunt verwachten dat de stof bezinkt en beklijft. In groep 8 wordt in totaal slechts 8 keer een heel klein rijtje gemaakt. In de tweede helft van groep 8 wordt zelfs helemaal niets meer aan het optellen van twee breuken gedaan.

In de gehele basisschoolperiode wordt nooit een rijtje breukensommetjes gevraagd waarbij optel- en vermenigvuldigingssommetjes door elkaar staan. Zoals ook al bij de methode 'Pluspunt' is opgemerkt, het goed beheersen van het verschil in aanpak tussen deze twee soorten bewerkingen is onontbeerlijk voor wiskunde!

De meeste kinderen zullen aan het begin van de brugklas, na gebruik van 'De wereld in getallen', niet goed weten hoe je twee willekeurige breuken bij elkaar optelt. Zoals reeds gezegd, dit gebrek aan inzicht en vaardigheid blijft voor de leerling jarenlang een onzichtbare en onduidelijke hinderpaal.

Alles telt

In groep 6 wordt niet geoefend.

In groep 7 wordt niet geoefend.

In groep 8 is de spreiding over de dagen en weken weer, net als bij 'Pluspunt' en 'De wereld in getallen', zo slecht, dat je niet kunt verwachten dat de stof bezinkt en beklijft. In groep 8 wordt in totaal slechts 8 keer een heel klein rijtje gemaakt. In de tweede helft van groep 8 wordt zelfs helemaal niets meer aan het optellen van twee breuken gedaan.

In de gehele basisschoolperiode wordt nooit een rijtje breukensommetjes gevraagd waarbij optel- en vermenigvuldigingssommetjes door elkaar staan. Zoals ook al bij de methodes 'Pluspunt' en 'De wereld in getallen' is opgemerkt, het goed beheersen van het verschil in aanpak tussen deze twee soorten bewerkingen is onontbeerlijk voor wiskunde.

De meeste kinderen zullen aan het begin van de brugklas, na gebruik van 'Alles telt'', niet goed weten hoe je twee willekeurige breuken bij elkaar optelt. Zoals reeds is gezegd, dit gebrek aan inzicht en vaardigheid blijft voor de leerling jarenlang een onzichtbare en onduidelijke hinderpaal.


Klik hier voor een bespreking van enkele pagina's uit RekenRijk, deel 6a (eerste jaarhelft van groep 6) door Henk Pfaltzgraff.
Bij deze bespreking komt duidelijk tot uiting hoe moeilijk en gekunsteld het 'handig rekenen' is.

Geen enkele Nederlandse rekenmethode geeft voldoende oefenstof voor de basis rekenvaardigheden. Zie voor dit punt ook het hoofdstukje 'De Cito Eindtoets'.
Het feit dat onze kinderen structureel te weinig oefenen en herhalen, heeft ons inziens ook te maken met het feit dat de methodes zeer sterk de 'Realistisch Rekenen'-filosofie aanhangen.
Bijna alle opgaven worden verpakt in een 'realistische context'. Dit betekent dat er relatief zeer veel tijd wordt besteed aan het 'lezen' van de rekenopgaven. Dit gaat ten koste van het daadwerkelijke rekenen.
Helaas kunnen we geen vergelijkend onderzoek laten zien met de rekenprestaties van kinderen die een ander soort methode gebruiken om de eenvoudige reden dat er geen andersoortige methodes voor de basisschool bestaan.

Alle Nederlandse rekenmethodes zijn 'Realistisch'.

In de hoop dat een of meer Nederlandstalige Vlaamse mehoden in Nederland gebruikt zouden kunnen worden, hebben we de twee minst realistische Vlaamse methoden onderzocht, namelijk 'Kompas' en 'Rekensprong'.
Hieronder volgt een tabel inzake deze twee Vlaamse methoden.

 

methode type opgaven   tabel
met
details
Rekensprong
groep 8
optellen 1 klik hier voor uitgebreide tabellen

klik hier voor samenvattende tabellen
aftrekken 2
vermenigvuldigen 17
delen 27
 
optellen met kommagetallen 9
aftrekken met kommagetallen 12
vermenigvuldigen met kommagetallen 4
delen met kommagetallen 10
 
optellen met breuken 21
aftrekken met breuken 10
vermenigvuldigen met breuken 4
delen met breuken 0
context-vragen 383
Kompas
groep 6
optellen of aftrekken van breuken met ongelijke noemers 0 De boekjes voor de groepen 7 en 8 waren op het moment van onderzoek nog niet in de handel.

Helaas bevatten de Vlaamse methodes ook zodanig veel contextuele opgaven, dat men het noodzakelijke rekenniveau aan het eind van de basisschoolperiode bij lange na niet haalt. Op het moment van ons onderzoek waren de schoolboeken voor de laatste twee leerjaren van Kompas nog niet in de handel. Bij de methode Kompas zou het daarom theoretisch nog kunnen dat de achterstand van groep 6 alsnog wordt ingehaald in de groepen 7 en 8. Dit lijkt ons echter onwaarschijnlijk, gezien het toch zeer geringe aantal rijtjes sommetjes in de boekjes voor groep 6.

We komen om die reden tot de conclusie dat een basisschool beter kan wachten met de aanschaf van een nieuwe rekenmethode totdat een of meer van de huidige uitgevers op het gebied van rekenonderwijs hun boeken hebben aangepast of totdat een nieuwe uitgever met een andersoortige rekenmethode op de markt komt.

Tot die tijd zullen scholen aanvullend lesmateriaal moeten gebruiken met rijtjes oefensommetjes.
Door een deel van de contextuele opgaven over te slaan, creëert men de daartoe benodigde tijd.

 

Binnenkort komt de nieuwe rekenmethode Reken zeker op de markt! De Stichting Goed Rekenonderwijs en de auteurs A. de Vries en P. Terpstra enerzijds en Noordhoff Uitgevers anderzijds ondertekenden woensdag 28 januari 2009 in Utrecht daartoe een overeenkomst tot samenwerking. Geïnteresseerde scholen kunnen zich wenden tot het op de pagina van 'Reken zeker' vermelde mailadres: rekenzeker@noordhoff.nl

Voor de groepen 6 t/m 8 is nu al Het grote rekenboek beschikbaar. Dit boek wordt momenteel door veel scholen omarmd als bijspijkerboek en ook ouders kunnen het heel goed gebruiken om hun kinderen bijles te geven.

 

Liesbeth van der Plas, ex-docente wiskunde VWO, thans auteur wiskunde hulpsoftware en
Mark Peletier, bestuurslid BON, hoogleraar wiskunde Technische Universiteit Eindhoven

PLUSPUNT, reken-wiskundemethode voor de basisschool, Malmberg, 's-Hertogenbosch


lesboek groep 6
lesboek groep 7
lesboek groep 8

opdrachtenboek groep 7
opdrachtenboek groep 8

plusboek groep 7
plusboek groep 8

werkboek groep 7
werkboek groep 8


Klik voor de ISBN-nummers.

De wereld in getallen, Malmberg 's-Hertogenbosch


Rekenboek A groep 6
Rekenboek B groep 6
Rekenboek A groep 7
Rekenboek B groep 7
Rekenboek A groep 8
Rekenboek B groep 8

Rekenwerkboek 8


Klik voor de ISBN-nummers.

Alles telt, ThiemeMeulenhoff, Utrecht/Zuthpen


Leerlingenboek 7A
Leerlingenboek 7B

Leerlingenboek 8A
Leerlingenboek 8A
Maatschrift 8A
Maatschrift 8B
Maatschrift 8


Klik voor de ISBN-nummers.

Kompas, die Keure, Brugge

leerjaar 4 ==
Ned. groep 6

4e leerjaar, Werkboek A

4e leerjaar, Werkboek B

4e leerjaar, Werkboek C

4e leerjaar, scheurblok groen

4e leerjaar, scheurblok blauw


Klik voor de ISBN-nummers.

Rekensprong, Van In, Wommelgem


leerjaar 6
(Ned. groep 8)
werkschrift a, b, c, d

toetsschrift

neuze-neuzeboek (onthoudboek)

Klik voor de ISBN-nummers.